高下其手的英文是「act in collusion with」
gao xia qi shou
犹言上下其手。比喻玩弄手法,串通做弊。
宋·王辟之《渑水燕谈录·官制》:“五代以来,诸州马步军虞侯以衙校为之,太祖虑其任私,高下其手,乃置司寇参军,以进士、‘九经’及第人充之。”